Ejercicios de Distribución Binomial

Pregunta 1: Prueba de Verdadero/Falso

Una prueba tiene 20 preguntas de Verdadero/Falso. Si un estudiante responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 10 respuestas correctas?

Datos:

  • Número de ensayos (n): 20 preguntas.
  • Probabilidad de éxito (p): Para una pregunta de Verdadero/Falso respondida al azar, la probabilidad de acertar es 0.5 (o 50%).
  • Número de éxitos deseados (k): Exactamente 10 respuestas correctas.

Necesitamos encontrar la probabilidad de exactamente \(k\) éxitos, lo que corresponde a una probabilidad exacta. La función dbinom en R se utiliza para este propósito.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 10, n = 20, p = 0.5
cat("Resultado: ", dbinom(10, 20, 0.5), "\n")
## Resultado:  0.1761971

Pregunta 2: Bombillas Defectuosas

La probabilidad de que una bombilla esté defectuosa es 0.1. Si se inspeccionan 15 bombillas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 estén defectuosas?

Datos:

  • Número de ensayos (n): 15 bombillas inspeccionadas.
  • Probabilidad de éxito (p): La probabilidad de que una bombilla esté defectuosa es 0.1.
  • Número de éxitos deseados (k): Exactamente 2 bombillas defectuosas.

Estamos buscando la probabilidad de exactamente \(k\) éxitos, que es una probabilidad exacta. Usamos la función dbinom en R.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 2, n = 15, p = 0.1
cat("Resultado: ", dbinom(2, 15, 0.1), "\n")
## Resultado:  0.2668959

Pregunta 3: Piezas de Fábrica

En una fábrica, el 80% de las piezas están en buenas condiciones. Si se seleccionan 10 piezas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 9 estén en buenas condiciones?

Datos:

  • Número de ensayos (n): 10 piezas seleccionadas.
  • Probabilidad de éxito (p): La probabilidad de que una pieza esté en buenas condiciones es 0.8 (u 80%).
  • Número de éxitos deseados (k): Al menos 9 piezas en buenas condiciones. Esto significa \(X \ge 9\), lo que incluye \(X=9\) o \(X=10\).

La probabilidad de “al menos” indica un cálculo acumulativo. La función pbinom calcula la probabilidad de \(X \le k\). Para encontrar \(P(X \ge 9)\), podemos usar la regla del complemento: \(P(X \ge 9) = 1 - P(X \le 8)\).

Cálculo en R:

# Parámetros: n = 10, p = 0.8. Queremos P(X >= 9) = 1 - P(X <= 8)
cat("Resultado: ", 1 - pbinom(8, 10, 0.8), "\n")
## Resultado:  0.3758096

Pregunta 4: Efectividad de la Medicación

Una medicación tiene una tasa de efectividad del 70%. Si se aplica a 12 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 8 muestren mejoría?

Datos:

  • Número de ensayos (n): 12 pacientes.
  • Probabilidad de éxito (p): La probabilidad de que un paciente muestre mejoría es 0.7 (o 70%).
  • Número de éxitos deseados (k): Como máximo 8 pacientes que muestran mejoría. Esto significa \(X \le 8\).

“Como máximo” indica una probabilidad acumulativa. La función pbinom en R calcula la probabilidad de \(X \le k\).

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 8, n = 12, p = 0.7
cat("Resultado: ", pbinom(8, 12, 0.7), "\n")
## Resultado:  0.5074842

Pregunta 5: Hogares que Reciclan

En una comunidad, el 60% de los hogares reciclan. Si se seleccionan 10 hogares al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 6 reciclen?

Datos:

  • Número de ensayos (n): 10 hogares seleccionados.
  • Probabilidad de éxito (p): La probabilidad de que un hogar recicle es 0.6 (o 60%).
  • Número de éxitos deseados (k): Exactamente 6 hogares reciclan.

Necesitamos encontrar la probabilidad de exactamente \(k\) éxitos, que es una probabilidad exacta. Usamos la función dbinom en R.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 6, n = 10, p = 0.6
cat("Resultado: ", dbinom(6, 10, 0.6), "\n")
## Resultado:  0.2508227

Pregunta 6: Compra de Cliente

La probabilidad de que un cliente compre un producto al visitar una tienda es 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 5 visitas, compre exactamente 2 veces?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 5 visitas.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de comprar = 0.3.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Exactamente 2 compras.

Necesitamos encontrar la probabilidad exacta de exactamente \(k\) éxitos, lo que se calcula con la función dbinom.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 2, n = 5, p = 0.3
cat("Resultado: ", dbinom(2, 5, 0.3), "\n")
## Resultado:  0.3087

Pregunta 7: Uso de Bicicleta

En una encuesta, se pregunta a las personas si usan bicicleta. Se sabe que el 45% sí lo hace. Si se encuesta a 8 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 la usen?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 8 personas encuestadas.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de usar bicicleta = 0.45.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Al menos 5 la usan (\(X \ge 5\)). Esto incluye los casos en los que 5, 6, 7 u 8 personas usan bicicleta.

La frase “al menos” indica una probabilidad acumulativa. La función pbinom calcula \(P(X \le k)\). Para encontrar \(P(X \ge 5)\), usamos la regla del complemento: \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4)\).

Cálculo en R:

# Parámetros: n = 8, p = 0.45. Queremos P(X >= 5) = 1 - P(X <= 4)
cat("Resultado: ", 1 - pbinom(4, 8, 0.45), "\n")
## Resultado:  0.2603807

Pregunta 8: Defectos de Fábrica

En una línea de ensamblaje, el 5% de los productos salen con un defecto. ¿Cuál es la probabilidad de que, al revisar 20 productos, ninguno esté defectuoso?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 20 productos revisados.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de que un producto sea defectuoso = 0.05.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Exactamente 0 productos defectuosos.

Necesitamos encontrar la probabilidad exacta de exactamente \(k\) éxitos (\(X=0\)), usando la función dbinom.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 0, n = 20, p = 0.05
cat("Resultado: ", dbinom(0, 20, 0.05), "\n")
## Resultado:  0.3584859

Pregunta 9: Moneda Sesgada

Una moneda “cargada” tiene una probabilidad de 0.6 de salir cara. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 caras en 5 lanzamientos?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 5 lanzamientos.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de obtener cara = 0.6.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Al menos 3 caras (\(X \ge 3\)). Esto incluye 3, 4 o 5 caras.

El término “al menos” indica una probabilidad acumulativa. Usamos la regla del complemento con pbinom: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)\).

Cálculo en R:

# Parámetros: n = 5, p = 0.6. Queremos P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)
cat("Resultado: ", 1 - pbinom(2, 5, 0.6), "\n")
## Resultado:  0.68256

Pregunta 10: Examen de Estudiante

Un estudiante responde 10 preguntas de opción múltiple al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga como máximo 4 preguntas correctas?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 10 preguntas.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Para una pregunta de opción múltiple respondida al azar con (asumiendo) 4 opciones y una correcta, la probabilidad de acertar es 1/4 = 0.25.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Como máximo 4 respuestas correctas (\(X \le 4\)). Esto incluye 0, 1, 2, 3 o 4 respuestas correctas.

La frase “como máximo” indica una probabilidad acumulativa, que se calcula directamente usando la función pbinom.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 4, n = 10, p = 0.25
cat("Resultado: ", pbinom(4, 10, 0.25), "\n")
## Resultado:  0.9218731

Pregunta 11: Mínimo de Éxitos (Cuantil)

¿Cuál es el valor mínimo de \(k\) tal que la probabilidad acumulada de obtener como máximo \(k\) éxitos en \(n = 12\) intentos, con \(p = 0.75\), es al menos del 90%?

Este problema pregunta por el número de éxitos (\(k\)) correspondiente a un umbral de probabilidad acumulada dado. Este es un problema de cuantil en el contexto de la distribución binomial.

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 12 intentos.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): 0.75.
  • Probabilidad acumulada deseada (\(q\)): Al menos 90% (0.90). Estamos buscando el entero más pequeño \(k\) tal que \(P(X \le k) \ge 0.90\).

La función qbinom se utiliza para este propósito.

Cálculo en R:

# Parámetros: q = 0.90, n = 12, p = 0.75
cat("Resultado: ", qbinom(0.90, 12, 0.75), "\n")
## Resultado:  11

Pregunta 12: Mínimo de Piezas Defectuosas (Cuantil)

Una máquina produce un 85% de piezas buenas. ¿Cuál es el número mínimo esperado de piezas defectuosas en 10 intentos para asegurar al menos un 80% de probabilidad acumulada?

Esta pregunta pide un cuantil para el número de piezas defectuosas.

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 10 intentos (piezas).
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de que una pieza sea buena = 0.85.
  • Probabilidad de fracaso (\(1-p\)): Probabilidad de que una pieza sea defectuosa = 1 - 0.85 = 0.15.
  • Resultado deseado: Número mínimo de piezas defectuosas (\(k\)) tal que la probabilidad acumulada de tener como máximo \(k\) piezas defectuosas sea al menos del 80% (\(P(X \le k) \ge 0.80\)), donde \(X\) es el número de piezas defectuosas.

Definimos el éxito como encontrar una pieza defectuosa, por lo que \(p=0.15\). Estamos buscando el entero más pequeño \(k\) tal que \(P(X \le k) \ge 0.80\) usando la función qbinom.

Cálculo en R:

# Parámetros: q = 0.80, n = 10, p (defectuosa) = 0.15
cat("Resultado: ", qbinom(0.80, 10, 0.15), "\n")
## Resultado:  2

Pregunta 13: Ausencia de Estudiante

Se estima que un estudiante tiene una probabilidad de 0.9 de asistir a clase. Si hay 15 clases, ¿cuál es la probabilidad de que falte exactamente a 2?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 15 clases.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de asistir = 0.9.
  • Resultado deseado: Faltar exactamente a 2 clases. Si faltan a 2 de 15, deben asistir a 15 - 2 = 13 clases.

Podemos definir, alternativamente, el éxito como faltar a clase.

  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de faltar = 1 - 0.9 = 0.1.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Exactamente 2 clases faltadas.

Necesitamos la probabilidad exacta de exactamente \(k\) éxitos, usando dbinom.

Cálculo en R:

# Parámetros: k (faltado) = 2, n = 15, p (faltar) = 0.1
cat("Resultado: ", dbinom(2, 15, 0.1), "\n")
## Resultado:  0.2668959

Pregunta 14: Lanzamiento de Moneda

Una persona lanza una moneda 12 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara exactamente 6 veces si la moneda es justa?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 12 lanzamientos.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de obtener cara con una moneda justa = 0.5.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Exactamente 6 caras.

Necesitamos la probabilidad exacta de exactamente \(k\) éxitos (\(X=6\)), calculada usando dbinom.

Cálculo en R:

# Parámetros: k = 6, n = 12, p = 0.5
cat("Resultado: ", dbinom(6, 12, 0.5), "\n")
## Resultado:  0.2255859

Pregunta 15: Formulario

En una prueba piloto, el 25% de los usuarios completa un formulario. ¿Cuál es la probabilidad de que, de 8 usuarios, al menos 5 lo completen?

Datos:

  • Número de ensayos (\(n\)): 8 usuarios.
  • Probabilidad de éxito (\(p\)): Probabilidad de que un usuario complete el formulario = 0.25.
  • Número de éxitos deseados (\(k\)): Al menos 5 lo completan (\(X \ge 5\)). Esto significa que 5, 6, 7 u 8 usuarios completan el formulario.

La frase “al menos” requiere calcular una probabilidad acumulativa usando la regla del complemento con pbinom: \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4)\).

Cálculo en R:

# Parámetros: n = 8, p = 0.25. Queremos P(X >= 5) = 1 - P(X <= 4)
cat("Resultado: ", 1 - pbinom(4, 8, 0.25), "\n")
## Resultado:  0.02729797