Ejercicios Variables Aleatorias

1. En una encuesta se pregunta a las personas por su color favorito. ¿Qué tipo de variable es esta?

Respuesta: Variable cualitativa nominal.

2. Se registra el número de hijos de cada familia en un barrio. ¿Qué tipo de variable es?

Respuesta: Variable cuantitativa discreta.

3. Se mide el tiempo (en segundos) que tarda una persona en recorrer 100 metros. ¿Qué tipo de variable es?

Respuesta: Variable cuantitativa continua.

4. Una empresa registra el nivel de satisfacción de sus clientes como: “malo”, “regular”, “bueno”, “excelente”. ¿Qué tipo de variable es?

Respuesta: Variable cualitativa ordinal.

5. Se lanza un dado una vez. Define una variable aleatoria que represente el número obtenido.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles al lanzar un dado. \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

Respuesta:
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número obtenido al lanzar un dado una vez.

El recorrido de \(X\) es \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

6. Se lanza una moneda tres veces. Define una variable aleatoria que represente la cantidad de caras obtenidas.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles al lanzar una moneda tres veces.
\(\Omega = \{\text{CCC}, \text{CCS}, \text{CSC}, \text{CSS}, \text{SCC}, \text{SCS}, \text{SSC}, \text{SSS}\}\).

Respuesta:
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces.

\[ X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = SSS \\ 1 & \text{si } x \in \{SSC, SCS, CSS\} \\ 2 & \text{si } x \in \{SCC, CSC, CCS\} \\ 3 & \text{si } x = CCC \end{cases} \]

El recorrido de \(X\) es \(\{0, 1, 2, 3\}\).

7. En un experimento se mide la altura (en centímetros) de los estudiantes de una clase. Define la variable aleatoria que se genera.

Respuesta:
Sea \(H\) la variable aleatoria que representa la altura (en centímetros) de los estudiantes de una clase.
El recorrido de \(H\) es un intervalo de valores reales, por ejemplo, \(\{h \in \mathbb{R} : 150 \le h \le 190 \}\).

8. Se seleccionan 2 bombillas de una caja con 3 defectuosas y 2 buenas. Define una variable aleatoria que cuente cuántas defectuosas se seleccionan.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles al seleccionar 2 bombillas.
\(\Omega = \{BB, BD, DB, DD\}\), donde B representa una buena bombilla y D representa una bombilla defectuosa.

Respuesta:
Sea \(D\) la variable aleatoria que representa la cantidad de bombillas defectuosas seleccionadas.

\[ X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = BB \\ 1 & \text{si } x \in \{BD, DB\} \\ 2 & \text{si } x = DD \\ \end{cases} \]

El recorrido de \(D\) es \(\{0, 1, 2\}\).

9. En una tienda, se registran las marcas de teléfonos móviles comprados en un día. ¿Qué tipo de variable es?

Respuesta:
Variable cualitativa nominal.

10. Se mide la temperatura diaria (en °C) durante una semana. ¿Qué tipo de variable es?

Respuesta:
Variable cuantitativa continua.

11. Una persona anota la cantidad de mensajes de texto que recibe cada hora. ¿Qué tipo de variable es?

Respuesta:
Variable cuantitativa discreta.

12. Se lanza un dado dos veces. Define una variable aleatoria que represente la suma de los dos resultados.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los pares de resultados posibles al lanzar un dado dos veces.
\(\Omega = \{(1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1), ..., (6,6)\}\).

Respuesta:
Sea \(S\) la variable aleatoria que representa la suma de los resultados de lanzar un dado dos veces.
El recorrido de \(S\) es \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\).

13. Una persona responde a un estímulo visual. Define una variable aleatoria que represente el tiempo (en segundos) que tarda en reaccionar.

Respuesta:
Sea \(T\) la variable aleatoria que representa el tiempo (en segundos) que tarda una persona en reaccionar a un estímulo visual.
El recorrido de \(T\) es un intervalo de valores reales, por ejemplo, \(\{t \in \mathbb{R} : t > 0 \}\).

14. En una caja hay 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Se extraen 3 al azar sin reemplazo. Define una variable aleatoria que represente la cantidad de bolas rojas extraídas.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todas las combinaciones posibles al extraer 3 bolas.
\(\Omega = \{(R1, R2, R3), (R1, R2, R4), ..., (A1, A2, A3)\}\), donde \(R\) representa una bola roja y \(A\) representa una bola azul.

Respuesta:
Sea \(R\) la variable aleatoria que representa la cantidad de bolas rojas extraídas.

\[ X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = AAA \\ 1 & \text{si } x \in \{AAR, ARA, RAA\} \\ 2 & \text{si } x \in \{RRA, RAR, ARR\} \\ 3 & \text{si } x = AAA \end{cases} \]

El recorrido de \(R\) es \(\{0, 1, 2, 3\}\).

15. En una sala de espera se mide cuánto tiempo (en minutos) permanece cada persona antes de ser atendida. Define la variable aleatoria que se genera.

Respuesta:
Sea \(W\) la variable aleatoria que representa el tiempo (en minutos) que permanece cada persona en la sala de espera.
El recorrido de \(W\) es un intervalo de valores reales, por ejemplo, \(\{w \in \mathbb{R} : w \ge 0 \}\).

16. Se observa cuántos vehículos pasan por una calle en intervalos de 10 minutos. Define la variable aleatoria correspondiente.

Respuesta:
Sea \(V\) la variable aleatoria que representa la cantidad de vehículos que pasan por una calle en intervalos de 10 minutos.
El recorrido de \(V\) es el conjunto de los enteros no negativos \(\{0, 1, 2, 3, ...\}\).

17. Una máquina lanza piezas de forma automática. Define una variable aleatoria que indique si una pieza es “defectuosa” o “no defectuosa”.

Respuesta:
Sea \(X\) la variable aleatoria que indica si una pieza es defectuosa o no defectuosa.
El recorrido de \(X\) puede ser \(\{0, 1\}\) donde 0 representa “no defectuosa” y 1 representa “defectuosa”.

18. Una urna contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Define una variable aleatoria que represente la suma de los números obtenidos.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) es todo el conjunto de pares de bolas posibles extraidas.
\(\Omega = \{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)\}\).

Respuesta:
Sea \(S\) la variable aleatoria que representa la suma de los números obtenidos al extraer dos bolas.
El recorrido de \(S\) es \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).

19. Se lanza un dado 4 veces. Define una variable aleatoria que represente la cantidad de veces que aparece el número 6.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) correspondiente a lanzar un dado 4 veces es el conjunto de todos los resultados posibles.
\(\Omega = \{(1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,1,3), (1,1,1,4), (1,1,1,5), (1,1,1,6), ..., (6,6,6,5), (6,6,6,6)\}\).

Respuesta:
Sea \(C\) la variable aleatoria que representa la cantidad de veces que aparece el número 6 al lanzar un dado 4 veces.

\[ C(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in \{\text{no 6, no 6, no 6, no 6}\} \\ 1 & \text{si } x \in \{\text{6, no 6, no 6, no 6}, \text{no 6, 6, no 6, no 6}, \text{no 6, no 6, 6, no 6}, \text{no 6, no 6, no 6, 6}\} \\ 2 & \text{si } x \in \{\text{6, 6, no 6, no 6}, \text{6, no 6, 6, no 6}, \text{6, no 6, no 6, 6}, \text{no 6, 6, 6, no 6}, \text{no 6, 6, no 6, 6}, \text{no 6, no 6, 6, 6}\} \\ 3 & \text{si } x \in \{\text{6, 6, 6, no 6}, \text{6, 6, no 6, 6}, \text{6, no 6, 6, 6}, \text{no 6, 6, 6, 6}\} \\ 4 & \text{si } x = \{6, 6, 6, 6\} \end{cases} \]

El recorrido de \(C\) es \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\).

20. Un estudiante responde 10 preguntas de verdadero/falso al azar. Define una variable aleatoria que represente la cantidad de respuestas correctas.

Espacio Muestral:
El espacio muestral \(\Omega\) correspondiente a responder 10 preguntas de verdadero/falso es el conjunto de todas las combinaciones posibles de respuestas.
\(\Omega = \{(V,V,V,V,V,V,V,V,V,V), (V,V,V,V,V,V,V,V,V,F), ..., (F,F,F,F,F,F,F,F,F,F)\}\), donde V representa verdadero y F representa falso.

Respuesta:
Sea \(A\) la variable aleatoria que representa la cantidad de respuestas correctas.

\[ A(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = \{\text{FFFFFFFFFF}\} \\ 1 & \text{si } x \in \{\text{VFFFFFFFFF}, \text{FVFFFFFFFF}, \text{FFVFFFFFFF}, \text{FFFVFFFFFF}, \text{FFFFVFFFFF}, \text{FFFFFVFFFF}, \text{FFFFFFVFFF}, \text{FFFFFFFFVF}, \text{FFFFFFFFFV}, \text{FFFFFFFFFFV}\} \\ 2 & \text{si } x \in \{\text{VVFFFFFFFF}, \text{VFVFFFFFFF}, ..., \text{FFFFFFFFVV}\} \\ 3 & \text{si } x \in \{\text{VVVFFFFFFF}, \text{VVFVFFFFFF}, ..., \text{FFFFFFFVVV}\} \\ 4 & \text{si } x \in \{\text{VVVVFFFFFF}, \text{VVVFVFFFFF}, ..., \text{FFFFFFVVVV}\} \\ 5 & \text{si } x \in \{\text{VVVVVFFFFF}, \text{VVVVFVFFFF}, ..., \text{FFFFFVVVVV}\} \\ 6 & \text{si } x \in \{\text{VVVVVVFFFF}, \text{VVVVVVFfff}, ..., \text{FFFFVVVVVV}\} \\ 7 & \text{si } x \in \{\text{VVVVVVVFFF}, \text{VVVVVVVFFF}, ..., \text{FFFVVVVVVV}\} \\ 8 & \text{si } x \in \{\text{VVVVVVVVFF}, \text{VVVVVVVVFV}, ..., \text{FFVVVVVVVV}\} \\ 9 & \text{si } x \in \{\text{VVVVVVVVVF}, \text{VVVVVVVVVV}, ..., \text{FVVVVVVVVV}\} \\ 10 & \text{si } x = \{\text{VVVVVVVVVV}\} \end{cases} \]

El recorrido de \(A\) es \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\).